Ableitungsregeln

Beim Ableiten einer Funktion müssen einige Regeln eingehalten werden. Diese erscheinen auf den ersten Blick etwas kompliziert, ergeben bei genauerer Betrachtung jedoch durchaus Sinn.

Potenzregel

Die Potenzregel ist immer dann anzuwenden, wenn die abzuleitende Funktion eine Potenz enthält.

\(f(x) = x^n\quad \rightarrow \quad f'(x) = n⋅x^{n-1}\)

Der Exponent \((n)\) wird mit einem Malzeichen vor \(x\) geschrieben. Anschließend wird der Wert 1 vom Exponent abgezogen.

Beispiel

\(f(x) = x^3\quad \rightarrow \quad f'(x) = 3x^2\)

\(f(x) = 4x^3 + 2x^2\quad \rightarrow \quad f'(x) = 12x^2 + 4x\)

 

Summenregel

Die Summenregel besagt, dass Funktionen die durch ein Pluszeichen getrennt sind separat abgeleitet werden.

\(f(x) = g(x) + h(x)\quad \rightarrow \quad f'(x) = g'(x) + h'(x)\)

Beispiel

\(f(x) = 4x^2 + 2x\quad \rightarrow \quad f'(x) = 8x + 2\)

Differenzregel

Die Differenzregel ist das Pendant zur Summenregel. Sie besagt, dass Funktionen die durch ein Minuszeichen getrennt sind separat abgeleitet werden.

\(f(x) = g(x) - h(x)\quad \rightarrow \quad f'(x) = g'(x) - h'(x)\)

Beispiel

\(f(x) = 3x^2 - 6x\quad \rightarrow \quad f'(x) = 6x - 6\)

Produktregel

Sind innerhalb einer Funktion \(f(x)\)zwei Funktionen \((x)\) mit einem Malzeichen verknüpft, wird nach der Produktregel abgeleitet. Zuerst wird Funktion 1 abgeleitet, und mit Funktion 2 multipliziert. Dann wird hinter einem Pluszeichen Funktion 2 abgeleitet und mit Funktion zwei multipliziert.

\(f(x) = g(x) ⋅ h(x)\quad \rightarrow \quad f'(x) = g'(x) ⋅ h(x) + g(x) ⋅ h'(x)\)

Beispiel

\((x) = 3x^2 ⋅ 4x\quad \rightarrow \quad f'(x) = 6x⋅4x + 3x^2 ⋅ 4\)

Kettenregel

Die Kettenregel wird dann angewendet, wenn mehrere Funktionen miteinander verkettet sind. Beispielsweise. Eine solche Funktion ist beispielsweise \(f(x) = 3g(h(x))\)

\(f(x) = g(h(x)\quad \rightarrow \quad f'(x) = g'⋅(h(x)) ⋅ h'(x)\)

Beispiel

Quotientenregel

Die Quotientenregel kommt bei der Ableitung eines Bruches zum tragen.

\(f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)}\quad \rightarrow \quad f'(x) = \dfrac{g'(x) ⋅ h(x) - g(x) ⋅ h'(x)}{h^2(x)}\)

Beispiel